Hola pas a pas,
yo creo que de los dos sítios que dices de dejar el coche la mejor opcción es dejarlo en el Club Náutico de Los Alcázares, por estar mas poblado en invierno que Los Nietos; en realidad no sabemos cuando piensas hacer la travesía y dependiendo de la estación del año te recomendaría un sítio u otro.
Aunque yo de ti saldría directamente desde Cabo de Palos y me evitaría tener que cruzar el Mar Menor y salir por la Gola de Marchamalo que, si no está el mar muy bueno se te puede complicar la salida, ya que no sales directo al mar sino que el mar te vendría de izquierdas quedándote la playa a tu derecha (ese canal hace como una escuadra a derecha, míralo en google earth o en Sigpac), y si hay olas...
Desde Cartagena tienes buena comunicación en autobús hacia Cabo de Palos y también hacia Los Alcázares, tiene una estación de autobuses grandecita. En Cabo de Palos con un poco de suerte podrías aparcar en frente de la Policía local y así problema resuelto de dejar el coche en cualquier sitio.
Yo también hice una travesía similar por esa zona hace un par de años, si necesitas ayuda escríbeme, un saludo!
P.D.: Torrente 81 siento no haberte podido ayudar en tu travesía pero no sigo mucho el foro y vi tu mensaje hace unos días, espero que haya salido todo bien, un saludo!